La recherche en infographie et en traitement géométrique permet de simuler des phénomènes physiques tels que le feu et les flammes, ce qui facilite la création d’effets visuels dans les jeux vidéo et les films, ainsi que la fabrication de formes géométriques complexes grâce à des outils comme l’impression 3D. Ces simulations reposent sur des problèmes mathématiques appelés équations aux dérivées partielles (EDP), qui modélisent ces processus naturels.
Parmi les différentes classes de PDE utilisées en physique et en infographie, les PDE paraboliques de second ordre expliquent comment les phénomènes peuvent devenir fluides au fil du temps. Par exemple, l’équation de la chaleur prédit comment la chaleur se diffuse le long d’une surface ou dans un volume au fil du temps.
Les chercheurs du Laboratoire d’informatique et d’intelligence artificielle (CSAIL) du MIT ont développé un nouvel algorithme pour résoudre les PDE paraboliques non linéaires sur des maillages triangulaires. Ce framework permet de mieux analyser les formes et de modéliser des processus dynamiques complexes.
L’algorithme se divise en trois étapes : tout d’abord, il résout l’équation de la chaleur pour faire avancer la solution dans le temps. Ensuite, il prend en compte les comportements non linéaires en résolvant une équation de Hamilton-Jacobi. Enfin, il utilise à nouveau l’équation de la chaleur pour faire progresser la solution dans le temps pour résoudre l’EDP parabolique de second ordre plus complexe.
Ce cadre algorithmique peut être appliqué à des problèmes généraux non linéaires, mais également à des EDP linéaires. Par exemple, il peut modéliser la diffusion de la chaleur de manière linéaire, mais aussi des termes supplémentaires qui dérivent dans la même direction.
Les chercheurs envisagent d’appliquer leur travail à des surfaces en mouvement et d’aborder des problèmes plus complexes impliquant plusieurs PDE paraboliques couplées, comme ceux rencontrés en biologie et en chimie.
Cet article a été rédigé par Leticia Mattos Da Silva, Justin Solomon et Oded Stein, avec le soutien de plusieurs institutions de recherche. Cette approche novatrice ouvre de nombreuses perspectives pour résoudre efficacement des problèmes de traitement géométrique et graphique complexes.
En savoir plus : https://news.mit.edu/2024/framework-solving-parabolic-partial-differential-equations-0828
